Der Goldene Schnitt

Der Goldene Schnitt ist ein Teilungsverhältnis einer Strecke. 
Bedingung dabei ist, dass sich der kleinere Teil = Minor / m zum größeren Teil = Major / M wie dieser sich zur Summe beider Teile verhält. (Strahlensatz)

m / M = M / (M+m)

Dieses Längenverhältnis entspricht dem einer Zehneckseite zu dessen Radius. Das Zehneck und das Fünfeck (Pentagramm / Drudenfuss ) bilden vielfältige geometrische Reihen mit Längenverhältnissen im goldenen Schnitt.

Diese Eigenschaften machten das Pentagramm zum magischen Zeichen, dem Drudenfuß, mit welchem man das Böse bannen konnte, wodurch es vielfache Verwendung fand: Bei den Freimaurern, Rosenkreuzern, Teufelsaustreibern und letztlich in Hoheitsabzeichen östlicher und westlicher Mächte.

Eine besondere Rolle in der „Metrosophie“ (der Wissenschaft vom Messen) und bei den »Zahlenmystikern« spielt der »Goldene Schnitt«. Dieser Proportions-Zahl wird seit der Renaissance und bis heute eine Art absolute harmonische Wirkung zugeschrieben. Wird eine Strecke AB so bei C geteilt, dass sich die Gesamtstrecke AB zur größeren Teilstrecke AC genauso verhält wie die größere Teilstrecke AC zur kleineren CB, so ist dieses Teilungsverhältnis der »Goldene Schnitt« (AB: AC = AC: AB). Diese Teilung ist relativ einfach geometrisch zu konstruieren, doch sie lässt sich nicht in einer rationalen Zahl ausdrücken. Die Griechen bevorzugten klare Maßzahlen und Verhältniszahlen (Pythagoräer).  VieIe Tempel wurden als »Hekatompedos« gebaut, »Einhundertfüßiger«; sie waren genau 100 Fuß lang. Und ihre Verhältniszahlen ließen sich in ganzzahligen, einstelligen Ziffern ausdrücken. 1: 2, 2: 3; 3: 4. Irrationale Zahlen, wie die des Goldenen Schnitts (1: 0,61803398 ...) waren den Griechen nicht fassbar. Die Verhältnisse 3: 5 = 0,6 und 5: 8 = 0,625 kommen dem Goldenen Schnitt mit rationalen Zahlen relativ nahe. 

Konstruktion des Goldenen Schnitts aus zwei Quadraten:
1. Methode: Teilung der Strecke AB:

Diagonale über beide Quadrate mit einer Seitenlänge teilen
und die restliche Strecke auf die Basis beider Quadrate klappen:

2. Methode: Verlängerung der Strecke AB durch C:

Strecke AB halbieren und mit dem Radius der Diagonalen des halben Quadrats rechts um 1/2
Punkt C auf der Verlängerung von AB bestimmen.

Gelbe Strecke     = Major, größeres Teilungsverhältnis
Rote Strecke       = Minor, kleineres Teilungsverhältnis

 

Nun könnte durch weitere Teilungen daraus jeweils eine Reihe gemacht werden,
jeweils immer die größere oder kleinere Strecke teilen / vergrößern.

Hier wird noch die Beziehung des goldenen Schnitts zum Pentagramm gezeigt:
Die Schenkel eines Pentagramms stehen in Goldenen-Schnitt-Verhältnissen zueinander.

Dementsprechend enthält auch das Zehneck Goldene-Schnitt-Verhältnisse in Radius und Umfang

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eine Schnecke mit Goldenen Schnitt-Verhältnissen:

 

 

 

 

Beispiele für Anwendungen aus den Unterrichtsthemen:

Grünewald, die Versuchung des Hl. Antonius, Altarflügel des Isenheimer Altars um 1513
mit Major (rot) und Minor (weiß) Teilungsverhältnissen im goldenen Schnitt
und einer Viertelkreis-Schnecke aus Goldenen-Schnitt-Segmenten und einem
Pentagramm.

Es sind nur einige der möglichen Teilungen markiert.

1969, Christo: Wrapped Portrait of Judith Lieb
wieder mit Major-Minor Markierungen
die sich wohl zufällig in der Nähe des Knotens schneiden.

 

 

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